Question

某大學(xué)內(nèi)建立起了A、B兩個(gè)活動(dòng)中心，2003學(xué)年中，共有1 000人報(bào)告參加這兩項(xiàng)活動(dòng)，年底的一份調(diào)查資料表明，凡是這次參加A活動(dòng)的學(xué)生，下次會(huì)有20%改參加B活動(dòng)；而選擇B活動(dòng)的學(xué)生，下次有30%改選A活動(dòng)，若A₁=200，用A_n、B_n表示在第n次分別選擇A、B活動(dòng)的人數(shù).問：第幾次時(shí)，選擇A活動(dòng)和選擇B活動(dòng)的人數(shù)相等？

Answer 1

解：第n次選擇A活動(dòng)的人數(shù)A_n中80%的人在下次還選A活動(dòng)；而B_n中有30%的人數(shù)選A活動(dòng)，所以在第n+1次時(shí)，選擇A活動(dòng)的人數(shù)：A_n+1=80%×A_n+30%×B_n.

又由于A_n+B_n=1 000，

∴A_n+1=0.8A_n+0.3(1 000-A_n)=A_n+300.

記C_n=A_n-600,

將其代入上式有C_n+1=C_n,

∴C_n=C₁()^n-1,

當(dāng)A₁=200時(shí)，C₁=-400.

∴A_n=C_n+600

=-400×()^n-1+600.

當(dāng)選A活動(dòng)與B活動(dòng)的人數(shù)相等時(shí)，

A_n=B_n=500，

即-400×()^n-1+600=500，

∴n=3，

即第3次選擇A、B活動(dòng)的人數(shù)相同.