Question

如圖1，在直角梯形中，，，且．

現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：∥平面;

（2）求證：;

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析(3)

【解析】

試題分析：

(1)要證明線面平行,取中點(diǎn)，連結(jié),其中線段BN在面BEC中,根據(jù)線面平行的判斷,只需要證明線段BN與AM平行即可,根據(jù)MN為所在線段的中點(diǎn),利用中位線定理即可得到MN平行且等于DC的一半,題目已知AB平行且等于DC的一半,則可以得到MN與AB平行且相等,即四邊形ABMN為平行四邊形,而AM與BN為該平行四邊形的兩條對(duì)邊,則AM與BN平行,即得到線段AM平行于面BEC.

(2)題目已知面ABCD與ADEF垂直且ED垂直于這兩個(gè)面的交線,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得線段ED垂直于面ABCD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得到BC垂直于ED,根據(jù)梯形ABCD為直角梯形和邊長(zhǎng)關(guān)系和勾股定理可以得到BC與BD垂直,即線段BC與面BED中兩條相交的線段ED,BD相互垂直,根據(jù)線面垂直的判斷即可得到線段BC垂直于面BED

(3)要求點(diǎn)面距離可以考慮利用三棱錐體積的等體積法,即分別以D點(diǎn)和E點(diǎn)作為頂點(diǎn)求解三棱錐D-BEC的體積,當(dāng)以E作為頂點(diǎn)時(shí),DE為高,三角形BCD為底面,求出高和底面積得到三棱錐的體積,當(dāng)D為頂點(diǎn),此時(shí),高為D到面BEC的距離,而三角形BEC為底面,利用三角形的勾股定理得到BE的長(zhǎng)度,求出三角形BEC的面積,利用三棱錐的體積公式即可得到D到面BEC的距離.

試題解析：

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，分別為的中點(diǎn)，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且． 3分

所以四邊形為平行四邊形．

所以∥． 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.021.png">平面，且平面，

所以∥平面． 5分

（2）在正方形中，．

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.026.png">平面，且平面平面，

所以平面．

所以． 7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．

所以． 8分

所以平面． 10分

（3）解法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719035989779397/SYS201411171904067417508834_DA/SYS201411171904067417508834_DA.043.png">平面，所以平面平面． 11分

過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則平面

所以點(diǎn)到平面的距離等于線段的長(zhǎng)度 12分

在直角三角形中，

所以

所以點(diǎn)到平面的距離等于. 14分

解法二：平面,所以

所以

12分

又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為

則，所以

所以點(diǎn)到平面的距離等于. 14分

考點(diǎn)：勾股定理線面平行,線面垂直等體積法