Question

已知函數(shù)（）．

（1）若，在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若，求方程在上解的個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）．     

（2）當(dāng)a≥3時(shí)，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

當(dāng)時(shí)，<0，∴g(x)＝0在上無解．

【解析】（1）然后分別研究時(shí),恒成立且時(shí),恒成立時(shí)b的取值范圍即可.

(2) 構(gòu)造函數(shù)，即

分別研究和上的單調(diào)性,極值和最值.做出草圖，數(shù)形結(jié)合解決即可

（1）  …………………2分

①當(dāng)時(shí)， ，．

由條件，得恒成立，即恒成立，∴．   ……………………4分

②當(dāng)時(shí)，，．

由條件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2． 

綜合①，②得b的取值范圍是．               ……………6分

（2）令，即………………8分

當(dāng)時(shí)，，．

∵，∴．則．

即，∴在（0，）上是遞增函數(shù)．………………………10分

當(dāng)時(shí)，，．

∴在（，＋∞）上是遞增函數(shù)．

又因?yàn)楹瘮?shù)在有意義，∴在（0，＋∞）上是遞增函數(shù)．………12分

∵，而，∴，則．∵a≥2，

∴ ，  ……14分

當(dāng)a≥3時(shí)，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

當(dāng)時(shí)，<0，∴g(x)＝0在上無解