Question

6．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）和B（4，-2），且圓心C在直線l：x+y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N為圓C上兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得圓C的圓心是線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)，先求出線段AB的垂直平分線的方程，與直線l聯(lián)立可得圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的半徑，即可得答案；
（Ⅱ）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r，可以設(shè)p的坐標(biāo)為（m，-1-m），結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得（m-1）²+（m-1）²+m²+（m+1）²=9，解得m的值，即可得p的坐標(biāo)，分析可得直線MN的斜率為1，由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，-2）
∴直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{1+2}{1-4}=-1$…（1分）
∴直線AB的垂直平分線的斜率為1 …（2分）
又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{5}{2}，-\frac{1}{2}）$
∴線段AB的垂直平分線的方程是$y+\frac{1}{2}=x-\frac{5}{2}$，即x-y-3=0…（3分）
∵圓心C在直線l：x+y+1=0上
∴圓心C的坐標(biāo)是方程組$\left\{\begin{array}{l}x-y-3=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.$的解，得圓心C的坐標(biāo)（1，-2）…（4分）
∴圓C的半徑長(zhǎng)$r=\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（1+2）}^2}}=3$…（5分）
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-1）²+（y+2）²=9…（6分）
（Ⅱ）設(shè)以MN為直徑的圓的圓心為P，半徑為r
∵M(jìn)，N是圓C上的兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線l：x+y+1=0對(duì)稱(chēng)
∴點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上
∴可以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-1-m）…（7分）
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O
∴以MN為直徑的圓的半徑長(zhǎng)$r=|{OP}|=\sqrt{{m^2}+{{（m+1）}^2}}$…（8分）
∵M(jìn)N是圓C的弦，
∴|CP|²+r²=9，即（m-1）²+（m-1）²+m²+（m+1）²=9，解得m=-1或$m=\frac{3}{2}$
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0）或$（\frac{3}{2}，-\frac{5}{2}）$…（10分）
∵直線MN垂直直線l：x+y+1=0，
∴直線MN的斜率為1…（11分）
∴直線MN的方程為：x-y+1=0或x-y-4=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的綜合運(yùn)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．