Question

設二次函數(shù)f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），對任意實數(shù)x，f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間（a，b），使得當a₁∈（a，b）時，數(shù)列{a_n}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）已知，求：．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需二次項的系數(shù)為0，△≤0即可求出k的值，從而確定f（x），進而確定值域．
（2）當成立，可以證明a_n+1-a_n＞0，本題答案不唯一．
（3）由（2）得出，，設，得，，進而求出的值．
解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立等價于（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，（1分）
從而得：，化簡得，從而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，（3分）
其值域為．（4分）
（2）解：當時，數(shù)列a_n在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
設，則，所以對一切n∈N^*，均有；（7分），
從而得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n，所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列．（10分）
注：本題的區(qū)間也可以是、、等無窮多個．
另解：若數(shù)列a_n在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n＞0
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0（7分）
又當時，，所以對一切n∈N^*，均有且a_n+1-a_n＞0，所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列．（10分）
（3）（文科）由（2）知，從而；，即；（12分）
令，則有b_n+1=2b_n²且；
從而有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n+lg2，可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以數(shù)列l(wèi)gb_n+lg2是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，（14分）
從而得，即，所以，
所以，所以，（16分）
所以，=．（18分）
點評：本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合題，考查了函數(shù)的值域，數(shù)列的化簡與求和，是綜合性題目，對基本方法和靈活運用要求比較高，屬于高檔題目．