Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[

1

2

，3]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切線方程為y=x-1．…（4分）
（Ⅱ） 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由

f′(x)＞0 1 2 ≤x≤3

?

lnx＞0 1 2 ≤x≤3

?1＜x≤3，

f′(x)＜0 1 2 ≤x≤3

?

1

2

≤x＜1，…（6分）
故可列表：

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，3）	3
y′		-	0	+
y	- 1 2 ln2- 1 2	↘	-1	↗	3ln3-3

∵-

1

2

ln2-

1

2

＜0＜3ln3-3…（9分）
∴關(guān)于x的方程f（x）=m在區(qū)間[

1

2

，3]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)-1＜m≤-

1

2

ln2-

1

2

；     …（10分）
（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e^-a．…（11分）
①當(dāng)e-a＜

1

e

，即a＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在[

1

e

  ，e]上為增函數(shù)，
f(x)min=f(

1

e

)=

a-2

e

；        …（12分）
②當(dāng)

1

e

≤e-a≤e，即-1≤a≤1時(shí)，在[

1

e

，e-a]上f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
在[e^-a，e]上f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，f(x)min=f(e-a)=-e-a；          …（13分）
③當(dāng)e^-a＞e，即a＜-1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在[

1

e

，e]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（e）=ea．
綜上所述，f(x)min=

a-2 e ，   a＞1 -e-a， -1≤a≤1 ea ，  a＜-1

．…（14分）