Question

14．已知函數(shù)y=x²+2ax+1，求在[2，6]區(qū)間上的值域．

Answer 1

分析 先配方得到y(tǒng)=（x+a）²+1-a²，可設(shè)y=f（x），從而討論該二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-a和區(qū)間[2，6]的關(guān)系：分-a≥6，2＜-a＜6，和-a≤2三種情況，在每種情況里根據(jù)f（x）在[2，6]上的單調(diào)性或端點(diǎn)值和頂點(diǎn)值求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：y=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²，設(shè)y=f（x）；
①-a≥6，即a≤-6時(shí)，f（x）在[2，6]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的值域?yàn)閇f（6），f（2）]=[12a+37，4a+5]；
②2＜-a＜6，即-6＜a＜-2時(shí)，f（x）≥1-a²；
f（6）-f（2）=8a+32；
∴1）-6＜a＜-4時(shí)，f（6）＜f（2）；
∴f（x）的值域?yàn)閇1-a²，4a+5]；
2）-4≤a＜-2時(shí)，f（6）＞f（2）；
∴f（x）的值域?yàn)閇1-a²，12a+37]；
③-a≤2，即a≥-2時(shí)，f（x）在[2，6]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的值域?yàn)閇f（2），f（6）]=[4a+5，12a+37]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，二次函數(shù)值域的求法，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，及二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域．