Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,EF為異面直線A₁D與AC的公垂線,求證:EF∥BD₁.

Answer 1

證明:連結(jié)A₁C₁,由于AC∥A₁C₁,EF⊥AC,

∴EF⊥A₁C₁.

又EF⊥A₁D,A₁D∩A₁C₁=A₁,

∴EF⊥平面A₁C₁D.                                 ①

∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁,A₁C₁平面A₁B₁C₁D₁,

∴BB₁⊥A₁C₁.

∵四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形,

∴A₁C₁⊥B₁D₁,B₁D₁∩BB₁=B₁.

∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D.

而BD₁平面BB₁D₁D,

∴A₁C₁⊥BD₁.

同理,DC₁⊥BD₁,DC₁∩A₁C₁=C₁.

∴BD₁⊥平面A₁C₁D.                                ②

由①②可知EF∥BD₁.

小結(jié):證明EF∥BD₁,構(gòu)造與EF、BD₁都垂直的平面是關(guān)鍵.由于EF是AC和A₁D的公垂線,這一條件對構(gòu)造線面垂直十分有用.