Question

3．某家庭游戲中有這樣一個(gè)“投幣”活動(dòng)，活動(dòng)道具是如圖所示的半徑為10cm的圓形紙板，紙板上有一個(gè)相同圓心、半徑為2cm的小圓，現(xiàn)讓家庭中的每名成員向此紙板拋擲一枚半徑為1cm的硬幣，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)，若硬幣落下后與小圓圓面（不包含邊界）無公共點(diǎn)則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．
（1）求中獎(jiǎng)的概率；
（2）若某家庭中有3名成員參與“投幣”活動(dòng)，記這3名成員中中獎(jiǎng)的人數(shù)為E，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，硬幣要落在紙板內(nèi)，硬幣圓心距離紙板圓心的距離應(yīng)該小于9．硬幣與小圓無公共點(diǎn)，硬幣圓心距離小圓圓心要大于2，先求出硬幣落在紙板上的面積，然后再求解硬幣落下后與小圓沒交點(diǎn)的區(qū)域的面積，代入古典概率的計(jì)算公式可求中獎(jiǎng)的概率．
（2）由題意E～B（3，$\frac{8}{9}$），由此能求出E的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記“中獎(jiǎng)”為事件A
硬幣要落在紙板內(nèi)，硬幣圓心距離紙板圓心的距離應(yīng)該小于9，其面積為81π
無公共點(diǎn)也就意味著，硬幣的圓心與紙板的圓心相距超過3cm
以紙板的圓心為圓心，作一個(gè)半徑3cm的圓，硬幣的圓心在此圓外面，則硬幣與半徑為2cm的小圓無公共點(diǎn)，此半徑為3的圓面積是9π
所以有公共點(diǎn)的概率為$\frac{9π}{81π}$=$\frac{1}{9}$，
中獎(jiǎng)的概率P（A）=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$．
（2）由題意E～B（3，$\frac{8}{9}$），
P（E=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{9}）^{3}$=$\frac{1}{729}$，
P（E=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{8}{9}）（\frac{1}{9}）^{2}$=$\frac{24}{729}$，
P（E=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{8}{9}）^{2}（\frac{1}{9}）$=$\frac{192}{729}$，
P（E=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{8}{9}）^{3}$=$\frac{512}{729}$，
∴E的分布列為：

E	0	1	2	3
P	$\frac{1}{729}$	$\frac{24}{729}$	$\frac{192}{729}$	$\frac{512}{729}$

E（E）=3×$\frac{8}{9}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．