Question

已知橢圓C：=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為B(1，0)，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A(5，0)，過點(diǎn)A作直線l交橢圓C于不同兩點(diǎn)P、Q.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求直線l斜率的取值范圍；

(Ⅲ)是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

答案：解：圓錐曲線的幾何量之間的關(guān)系用待定系數(shù)法確定方程，利用判別式構(gòu)建不等式求解參數(shù)的方法，利用直線和圓錐曲線的研究方法探究存在性問題.(Ⅰ)

即所求橢圓方程為=1.

(Ⅱ)點(diǎn)A(5，0)在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓C無交點(diǎn)，所以直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k(x-5).

由方程組

得(5k²+4)x²-50k²x+125k²-20=0

依題意△=20(16-80k²)＞0，得.

(Ⅲ)方法一：利用第二定義探究，設(shè)點(diǎn)P、Q到準(zhǔn)線的距離分別為d_P+d_Q.

若存在直線l，使得|BP|=|BQ|

∵=e，∴d_P=d_Q，

又∵P、Q是橢圓上不同的兩點(diǎn)

∴PQ平行于準(zhǔn)線.這與PQ過點(diǎn)A矛盾.

∴不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.

方法二：利用方程探究，設(shè)交點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，PQ的中點(diǎn)為R(x₀，y₀)，則x₁+x₂=，

x₀=

y₀=k(x₀-5)=k(，

又|BP|=|BQ|BR⊥lk·k_BR=-1

k·k_BR==-1

20k²=20k²-4，但0=-4不可能成立，

所以不存在直線l使得|BP|=|BQ|.