Question

9．集合A={1，2，3，…，2n，2n+1}的子集B滿足，對任意的x，y∈B，x+y∉B，求集合B中元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 通過數(shù)學歸納法證明即可．

解答 解：集合B中元素個數(shù)的最大值為n+1．
取B={1，3，5，…，2n+1}，則此集合中任意兩個數(shù)之和為偶數(shù)，符合題意．
下面證明取A中任何n+2個元素組成的集合B，一定有兩個數(shù)之和仍然在B中．
用數(shù)學歸納法證明．
當n=1時，A={1，2，3}，取A中3個元素的集合B={1，2，3}，顯然有1+2=3，結(jié)論成立．
假設n時結(jié)論成立，即A={1，2，3，…，2n，2n+1}中任意n+2個元素的集合B必有兩個數(shù)之和仍在B中．
對于n+1時，A={1，2，3，…，2n+1，2n+2，2n+3}，從A中任取n+3個元素組成集合B．
下面證明B中必有兩個數(shù)之和仍在B中．
若所取的n+3個數(shù)不含有2n+2或2n+3，那么必在{1，2，3，…，2n，2n+1}中取出n+2個數(shù)．
由歸納假設，必有兩個數(shù)之和在B中，結(jié)論成立．
對所取的n+3個數(shù)含有2n+2和2n+3，則要在{1，2，3，…，2n，2n+1}取出n+1數(shù)．
下面證明2n+3必可以表示成B中的兩個數(shù)之和．
將1，2，3，…，2n+1，2n+2這2n+2個數(shù)分成n+1組（1，2n+2）、（2，2n+1）、（3，2n）、…、（n+1，n+2），
從中取出n+2個數(shù)中必有兩個數(shù)在同一組．
由于2n+3=1+（2n+2）=2+（2n+1）=3+2n=…=（n+1）+（n+2），
故在1，2，3，…，2n，2n+1，2n+2所取的n+2必有兩個數(shù)之和等于2n+3．
由數(shù)學歸納法原理可知集合A中任取n+2個數(shù)的集合B，在B中必有兩數(shù)之和仍在B中．
因此，B中元素個數(shù)最大值為n+1．

點評 本題考查了集合問題，考查數(shù)學歸納法的證明，是一道中檔題．