Question

對任意正偶數(shù)n，

求證：1－+－+…+－=2（++…+）.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，等式左邊=1－=，等式右邊=2（）=，

∴左邊=右邊，等式成立.

（2）假設(shè)n=2k（k∈N^*）時(shí)等式成立，即

1－+－+…+－=2（++…+）成立.

當(dāng)n=2k+2時(shí)（k∈N^*），

1－+－+…+－+－

=2（++…+）+－

=2（++…+++）+－－+－

=2［++…+］.

∴對n=2k+2（k∈N^*）等式成立.

由（1）（2）知對一切正偶數(shù)n=2k（k∈N^*）等式成立.

點(diǎn)評：（1）此題為數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一種新題型，在傳統(tǒng)問題論證對連續(xù)的正整數(shù)成立，而這里變成對連續(xù)的正偶數(shù)成立.歸納假設(shè)為n=2k與它連續(xù)的是2k+2，相當(dāng)于由k到k+1，應(yīng)注意體會數(shù)學(xué)歸納法的這種變形使用，把它用活.（2）本題亦可假設(shè)n=k（k為正偶數(shù)）成立，證明n=k+2成立.