Question

4．已知P為拋物線x²=4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），則|PA|+|PM|的最小值為$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可把問題轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，利用兩點(diǎn)間距離公式求得|FA|，則|PA|+|PM|可求．

解答 解：依題意可知，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F為（0，1），
準(zhǔn)線方程為y=-1，
只需直接考慮P到準(zhǔn)線與P到A點(diǎn)距離之和最小即可，
（因?yàn)閤軸與準(zhǔn)線間距離為定值1不會(huì)影響討論結(jié)果），
由于在拋物線中P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)F的距離，
此時(shí)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為|PF|+|PA|距離之和最小即可，
顯然當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|+|PA|距離之和最小，為|FA|，
由兩點(diǎn)間距離公式得|FA|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
那么P到A的距離與P到x軸距離之和的最小值為|FA|-1=$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的定義、方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和分析推理能力．