Question

如圖，在RtΔAOB中，，斜邊AB=4。RtΔAOC可以通過在RtΔAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點(diǎn)D在斜邊AB上。

（1）求證：CO⊥平面AOB；
（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時，求異面直線AO與CD所成角的正切值；
（3）求CD與平面AOB所成的角最大時的正切值。

Answer 1

（1）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是二面角的平面角，
又二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB。
（2）解：作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE，在平面AOB中，則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角，
在RtΔCOE中，CO=BO=2，，
∴，　
又，
∴在RtΔCDE中，，
∴異面直線AO與CD所成角的正切值為。
（3）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且，
當(dāng)OD最小時，∠CDO最大，
這時，OD⊥AB，垂足為D，，，
∴CD與平面AOB所成的角最大時的正切值為。