Question

已知銳角三角形ABC的三個內角為A、B、C，其對應邊分別為a、b、c，b=2

3

，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大��；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：解三角形

專題：綜合題,解三角形

分析：（I）由已知條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，結合和角公式化簡可求cosB，進一步可求B，
（II）先確定A的范圍，利用差角公式及輔助角公式化簡可得sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

），從而可求．

解答： 解：（1）由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（2）由A+B+C=π及B=

π

3

，得C=

2

3

π-A．
又△ABC為銳角三角形，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

）．
又A+

π

6

∈（

π

3

，

2

3

π），
∴sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，1]．
∴sinA+sinC∈（

3

2

，

3

]．

點評：本題的關鍵是由△ABC為銳角三角形，建立關于A的不等式，進而求出A的范圍，而輔助角公式的應用可以把不同名的三角函數化為一個角的三角函數，結合三角函數的性質進行求解．