Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，過頂點(diǎn)A（0，1）的直線L與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M在橢圓上且滿足，求直線L的斜率k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用離心率計(jì)算公式e=，b=1，及a²=1+c²，即可解得a．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用已知，即可表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可得出k．
解答：解：（1）由e=，b=1，a²=1+c²，解得a=2，
故橢圓方程為．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
聯(lián)立 ，消去y解得 （1+4k²）x²+8kx=0，
因?yàn)橹本�l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，所以△=（8k）²＞0，
所以x₁+x₂=，x₁×x₂=0，
∵，∴
點(diǎn)M在橢圓上，則m²+4n²=4，
∴，化簡得
x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+4k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+4=0，
∴4k•（）+4=0，解得k=±．
故直線l的斜率k=±．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力、計(jì)算能力．