Question

11．若兩個(gè)函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，并在該點(diǎn)處的切線相同，就說這兩個(gè)函數(shù)有why點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=lnx和g（x）=e^m•e^x有why點(diǎn)，則m所在的區(qū)間為（　�。�

• A． $（{-2，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-\frac{3}{2}，-1}）$
• C． $（{-\frac{5}{2}，-2}）$
• D． $（{-1，-\frac{1}{3}}）$

Answer 1

分析 設(shè)f（x）和g（x）的公共點(diǎn)為（a，b），（a＞0），求導(dǎo)數(shù)，建立方程組，求得alna=1，確定a的范圍，再由m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）確定單調(diào)遞增，即可得到m的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）和g（x）的公共點(diǎn)為（a，b），（a＞0），
函數(shù)f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
g（x）=e^x+m有的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x+m，
即有$\frac{1}{a}$=e^a+m，lna=e^a+m，
即為alna=1，
令h（a）=alna-1，可得h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$-1＜0，h（2）=2ln2-1＞0，
即有$\frac{3}{2}$＜a＜2，
則m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{13}{6}$），-$\frac{13}{6}$＜-2．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．