Question

14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，若對(duì)于任意的x，y∈[-2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（Ⅰ）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性，并證明；
（Ⅲ）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜log_am（a＞0且a≠1）對(duì)?x∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函數(shù)的定義即得證；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性，并證明；
（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，
令y=-x則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．…（5分）
任取-2≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f（x₂-x₁），
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．…（8分）
（ III ）因?yàn)閒（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f（x）_max=f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2，
若f（x）＜log_am（a＞0且a≠1）對(duì)?x∈[-2，2]恒成立，
則等價(jià)為f（x）_max＜log_am（a＞0且a≠1）對(duì)?x∈[-2，2]恒成立，
即2＜log_am（a＞0且a≠1）對(duì)?x∈[-2，2]恒成立，
若a＞1，則m＞a²，此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍是（a²，+∞），
若0＜a＜1，則0＜m＜a²，此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，a²）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．