Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，

PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.

(1)求證：BD⊥平面PAC；

(2)求平面PBD與平面BDA的夾角．

Answer 1

解：(1)證明：由題可知，AP、AD、AB兩兩垂直，則分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，

P(0,0,3)，

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

(2)顯然平面ABD的一個法向量為m＝(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，

令x＝，則n＝(，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.

∴平面PBD與平面BDA的夾角為60°.