Question

10．在扇形AOB中，圓心角等于$\frac{π}{3}$，半徑為4，在弧AB上有一動點P（不與點AB重合），過點P引平行于OB的直線和OA交于點C，設(shè)∠AOP=θ，求三角形POC的面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP進而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，進而利用三角形面積公式表示出S，利用兩角和公式化簡整理后，利用θ的范圍確定三角形面積的最大值．

解答 解：因為CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得CP=$\frac{4sinθ}{sin120°}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ．OC=$\frac{4sin（60°-θ）}{sin120°}$=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（{60°}-θ）$
三角形POC的面積S=$\frac{1}{2}$CP•OCsin120°=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ•$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（{60°}-θ）$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（2θ+{30°}）-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
所以當θ=30°，三角形POC的面積的最大值$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的模型的應(yīng)用．考查了考生分析問題和解決問題的能力．