Question

在各棱長均為1的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

（1）求BC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成角的正切值；

（2）如果M為CC₁的中點(diǎn)，求截面AB₁M與底面所成角的大小.

 

Answer 1

解析:（1）如圖，取A₁B₁的中點(diǎn)D，連結(jié)BD、DC₁，

∵A₁C₁=B₁C₁，

∴C₁D⊥A₁B₁.

由ABC—A₁B₁C₁為正三棱柱，

∴B₁B⊥C₁D.∴C₁D⊥側(cè)面AA₁B₁B.

∴∠DBC₁為BC₁和側(cè)面ABB₁A₁所成的角，DC₁=.

∴tan∠DBC₁=DC₁∶DB=.

（2）如圖，∵△ABC是△AB₁M在底面上的射影，

∴cosα=S_△ABC∶.取AB₁的中點(diǎn)N，連結(jié)DN，

∵DNA₁A,而A₁ACC₁，

∴DNCC₁.

又∵M(jìn)為CC₁的中點(diǎn)，

∴DNC₁M.∴C₁DMN.

又∵C₁D⊥面AB₁，

∴MN⊥平面AB₁且MN=.

∴AB₁·MN=，而S_△ABC=.

∴cosα=.∴α=45°.