Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

an

2an+1

（n=1，2，3，…）
（1）求a₂，a₃；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，在an+1=

an

2an+1

中分別令n=1，求出a₂，n=2求出a₃．即可．
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式：an=

1

2n

，檢驗n=1時等式成立，假設n=k（k≥1）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答：解：（1）a2=

a1

2a1+1

=

1 2

2× 1 2 +1

=

1

4

a3=

a2

2a2+1

=

1 4

2× 1 4 +1

=

1

6

（2）由此，猜想an=

1

2n

下面用數(shù)學歸納法證明此結論正確．
證明：（1）當n=1時，左邊=a1=

1

2

，右邊=

1

2×1

=

1

2

，結論成立  
（2）假設當n=k（k≥1）時，結論成立，即ak=

1

2k

那么ak+1=

ak

2ak+1

=

1 2k

2× 1 2k +1

=

1

2k+2

=

1

2(k+1)

也就是說，當n=k+1時結論成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，結論對任意正整數(shù)n都成立，即an=

1

2n

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時務必用上假設．