Question

20．設x，y是正數，且x，a₁，a₂，y成等差數列，x，b₁，b₂，y成等比數列，則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 x，y是正數，且x，a₁，a₂，y成等差數列，x，b₁，b₂，y成等比數列，可得a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．可得$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵x，y是正數，且x，a₁，a₂，y成等差數列，x，b₁，b₂，y成等比數列，
∴a₁+a₂=x+y，b₁•b₂=xy．
則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$=$\frac{xy}{（x+y）^{2}}$$≤\frac{xy}{4xy}$=$\frac{1}{4}$，當且僅當x=y時取等號．
則$\frac{_{1}_{2}}{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}}$的最大值是$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．