Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線為直線，左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為. 已知斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，且到直線的距離為

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過的直線與直線分別相交于兩點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據(jù)準(zhǔn)線方程和原點(diǎn)到直線的距離可求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和直線的方程可得的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，根據(jù)可得的坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前述關(guān)系可求斜率的值.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，

則直線的方程為，即.

因?yàn)?/span>到直線的距離為，故，

所以，則.

因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線的為直線，則，所以，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由(1)知：，設(shè)，.

由得，則 .

由，可知，

由得，

同理.

因?yàn)?/span>，所以，

由圖可知，

所以，

即，

所以

.