Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4．
（1）寫出{a_n}的前3項(xiàng)，并猜想其通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入計(jì)算，可得{a_n}的前3項(xiàng)，猜想a_n=6n-2，n∈N^*；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，驗(yàn)證n=1時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)n=k，k∈N⁺時(shí)，猜想成立，即有a_k=6k-2，再證n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，注意運(yùn)用已知條件和假設(shè)，化簡整理即可得證．

解答 解：（1）由a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4，
可得a₁+5a₂=36+18=54，
即有a₂=10，
由a₂+5a₃=72+18=90，
可得a₃=16，
猜想a_n=6n-2，n∈N^*；
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4=6×1-2成立；
②假設(shè)n=k，k∈N⁺時(shí)，猜想成立，即有a_k=6k-2，
由a_k+5a_k+1=36k+18，及a_k=6k-2，
即5a_k+1=36k+18-6k+2=30k+20，
得a_k+1=6k+4=6（k+1）-2，即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，
由①②可知，a_n=6n-2對一切正整數(shù)n均成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法的證明，由n=k+1運(yùn)用n=k的假設(shè)是證明的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．