Question

已知函數(shù)g(x)=ae^x-1-x²+bln(x+1)，a，b∈R，
(Ⅰ)若a=0，b=1，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若g(x)的圖象在(0，g(0))處與直線x-ey+1=0相切，
(ⅰ)求a、b的值；
(ⅱ)求證：x∈（-1，1），g(x)＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，有，
令，解得；令，解得，
所以增區(qū)間是，減區(qū)間是；
（Ⅱ）(ⅰ)由切線方程可知：切點（0，），切線斜率為，
所以，
因為，
所以，
綜上，a=1，b=0；
(ⅱ)證明：，記，
在（-1，1）上，＜0，
所以是減函數(shù)，即函數(shù)在（-1，1）上是減函數(shù)，
因為，
所以在（-1，1）內(nèi)恰有一根，記為x₀，
在上，，g(x)是增函數(shù)；在上，，g(x)是減函數(shù)，
所以是極大值，也是最大值，
只需證明，
因為，
所以，
所以，。