Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)為F₁(-5,0)、F₂(5,0),漸近線方程為3x±4y=0,求此雙曲線的方程.

Answer 1

分析:由已知漸近線方程可得出a、b間的關(guān)系,再由c²=a²+b²可求出a、b,并求出雙曲線的方程,也可以利用雙曲線系方程求解.

解法一:∵漸近線方程為3x±4y=0,即y=±x.

∵焦點(diǎn)F₁(-5,0)、F₂(5,0)在x軸上,

∴.設(shè)a=4k,b=3k,c=5.

由a²+b²=c²,得16k²+9k²=25,即k²=1.

∴a²=16,b²=9.

∴雙曲線方程為

解法二:∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,

∴可設(shè)雙曲線系方程為9x²-16y²=λ(λ＞0),

即

∴a²=,b²=,c=5,

∴解得λ=9×16.

故雙曲線方程為.

綠色通道：

解法一是基本解法;解法二的設(shè)法是根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與相應(yīng)漸近線的關(guān)系來設(shè)的.比如對(duì)應(yīng)的漸近線方程為而當(dāng)已知漸近線方程為時(shí),我們可設(shè)對(duì)應(yīng)的雙曲線方程為,其中λ為待定量.