Question

求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：

（1）f(x)=3;

(2)g(x)=-(.

Answer 1

（1）f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］（2）g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞）

解析:

（1）依題意x²-5x+4≥0,

解得x≥4或x≤1,

∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）.

令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），

∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥3⁰=1,

∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞）.

∵u=,∴當x∈（-∞，1］時，u是減函數(shù)，

當x∈［4，+∞）時，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，

f（x）=3在（-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù).

故f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］.

（2）由g(x)=-(

∴函數(shù)的定義域為R，令t=(^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,

∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等號成立條件是t=2,

即g(x)≤9,等號成立條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.

由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間，

求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.

∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減，

由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.

∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增，

故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞）.