Question

5．我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a}^{2}±2ab+^{2}}$=|a±b|，那么如何將雙重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt}$（a＞0，b＞0，a±2$\sqrt$＞0）化簡呢？如能找到兩個數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²=a即m+n=a，且使$\sqrt{m}$•$\sqrt{n}$=$\sqrt$即m•n=b，那么a±2$\sqrt$=（（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²±2$\sqrt{m}•\sqrt{n}$=（$\sqrt{m}±\sqrt{n}$）²
∴$\sqrt{a±2\sqrt}$=|$\sqrt{m}±\sqrt{n}$|，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$； Q3=1+2且2=1×2，
∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$
∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$．
由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成$\sqrt{a±2\sqrt}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；   
（2）化簡：
①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$；               
 ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$；
（3）計算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）將被開方數(shù)利用完全平方公式變形成完全平方式，利用二次根式化簡，即可求得答案；
（2）將原式轉(zhuǎn)成$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$，$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$轉(zhuǎn)化成完全平方式，化簡即可求得答案．
（3）將原式化簡$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，轉(zhuǎn)成完全平方式，化簡即可求得答案．

解答 解：（1）$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
  $\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}+2×\sqrt{7}×\sqrt{5}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$，
（2）①原式$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}+2×\sqrt{6}×\sqrt{3}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，
   ②原式$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{16-2\sqrt{60}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-2×\sqrt{10}×\sqrt{6}+（\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}-\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$，
（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$+$\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$，
=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查二次根式的計算，考查二次根式的化簡，考查計算能力，屬于中檔題．