Question

16．設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=9x+\frac{a^2}{x}+7$，若f（x）≥0對(duì)一切x≥0成立，則a的取值范圍為{a|a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱(chēng)性求出當(dāng)x＞0時(shí)的解析式，利用基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=9x+\frac{a^2}{x}+7$，
∴當(dāng)-x＜0時(shí)，f（-x）=-9x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7，
∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-9x-$\frac{{a}^{2}}{x}$+7=-f（x），
即f（x）=9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7，x＞0，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，滿(mǎn)足f（x）≥0，
則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=9x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-7≥2$\sqrt{9x•\frac{{a}^{2}}{x}}$-7=6|a|-7，x＞0，
若f（x）≥0對(duì)一切x≥0成立，
則6|a|-7≥0，
即|a|≥$\frac{7}{6}$，
解得a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$，
故答案為：{a|a≥$\frac{7}{6}$或a≤-$\frac{7}{6}$}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解決本題的關(guān)鍵．