Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，DC=

3

，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE？證明你的結論．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據圖形可看出，三棱錐C-ABE的體積等于三棱錐E-ABC，容易得出BE⊥平面ABC，即BE是三棱錐E-ABC的高．并且容易知道底面△ABC是直角三角形，根據已知的邊的長度即可求△ABC的面積，高BE=

3

，所以根據三棱錐的體積公式即可求出三棱錐E-ABC的體積，也就求出了三棱錐C-ABE的體積；
（2）根據已知條件容易證明BC⊥平面ACD，又DE∥BC，所以DE⊥平面ACD，DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（3）要找M點使MO∥平面ADE，只要找OM所在平面，使這個平面和平面ADE平行，容易發(fā)現這個平面是：分別取DC，EB中點M，N，連接OM，MN．ON，則平面MON便是所找平面，容易證明該平面與平面ADE平行，所以MO∥平面ADE．

解答： 解：（1）如圖，根據圖形知道，三棱錐C-ABE的體積等于三棱錐E-ABC的體積；
∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴EB∥DC，又DC⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC；
AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°，AC=

4-1

=

3

，BE=

3

；
∴V三棱錐C-ABE=V三棱錐E-ABC=

1

3

•

1

2

•

3

•1•

3

=

1

2

；
（2）DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC，⊥即BC⊥DC，又BC⊥AC，DC∩AC=C；
∴BC⊥平面ACD，DE∥BC；
∴DE⊥平面ACD，DE?平面ADE；
∴平面ADE⊥平面ACD，即平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上存在一點M，是CD的中點，使得MO∥平面ADE，下面給出證明；
證明：取DC中點M，EB中點N，連接OM，MN，ON，∵O，M，N三點是中點，∴MN∥DE，ON∥AE；
∵AE，DE?平面ADE，ON，MN?平面ADE；
∴MN∥平面ADE，ON∥平面ADE，MN∩ON=N；
∴平面MON∥平面ADE，MO?平面MON；
∴MO∥平面ADE；

點評：考查三棱錐的體積公式，線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，中位線的性質，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質．