Question

已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)).

(1)求橢圓的方程；

(2)設Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M.若||=2||，求直線l的斜率.

Answer 1

思路分析：本題主要考查直線、橢圓和向量等基本知識，以及推理能力和運算能力.

(1)根據(jù)題目所描述的橢圓的性質(zhì)求出橢圓方程；

(2)將||=2||轉(zhuǎn)化為定比分點問題，分兩種情況求斜率.

解：(1)設所求橢圓方程是=1(a＞b＞0).由已知，得c=m,=,所以a=2m,b=m.故所求的橢圓方程是=1.

(2)設Q(x_Q,y_Q),直線l：y=k(x+m),則點M(0，km).

當=2時，由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點坐標公式，得x_Q=

又點Q(-)在橢圓上，所以=1.解得k=±2.

當=-2時，x_Q==-2m,y_Q==-km.

于是=1,解得k=0.故直線l的斜率是0，±2.

溫馨提示

(1)根據(jù)條件橢圓方程是何種形式，用待定系數(shù)法求橢圓方程，關鍵是判定焦點在哪一條軸上；(2)將向量模的關系轉(zhuǎn)化為定比分點問題是解這一問的關鍵.