Question

甲、乙、丙三人獨立參加入學(xué)考試合格的概率分別為
求：①三人中恰有兩人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件，并且是研究同時發(fā)生的概率．
三個人中恰有2個合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，
所以三人中恰有兩人合格的概率 +=．
所以三人中恰有兩人合格的概率為．
（2）因為事件“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對立事件，
所以它們的概率之和為1．
因為三人都沒有合格的概率為：=，
所以三人中至少有一人合格的概率為．
（3）由題意可得：合格人數(shù)ξ可能取的值為：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==
所以合格人數(shù)ξ的期望為：E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．
分析：（1）由題意可得：三個人中恰有2個合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，再根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式可得答案．
（2）由于事件“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對立事件，所以根據(jù)題意求出事件“三人都沒有合格的概率”，再求出事件“三人中至少有一人合格”的概率．
（3）由題意可得：合格人數(shù)ξ可能取的值為：0，1，2，3，再結(jié)合題中的條件與相互獨立事件的概率乘法公式分別求出它們發(fā)生的概率，進而求出ξ的數(shù)學(xué)期望．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握相互獨立事件的概率乘法公式與對立事件的定義，以及離散型隨機變量的期望，此題屬于中檔題．