Question

對定義域分別是F，G的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：
函數(shù)
已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）。
（1）求函數(shù)h（x）的解析式；
（2）對于實數(shù)a，函數(shù)h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)f（x）=x²的定義域F=（-∞，+∞），
函數(shù)g（x）=alnx的定義域G=（0，+∞），
所以；
（2）當x≤0時，函數(shù)h（x）=x²單調(diào)遞減，
所以函數(shù)h（x）在（-∞，0]上的最小值為h（0）=0
當x>0時，h（x）=x²+alnx
若a=0，函數(shù)h（x）=x²在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)h（x）不存在最小值
若a>0，因為h'（x）=
所以函數(shù)h（x）=x²+alnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
此時，函數(shù)h（x）不存在最小值，
若a＜0，因為h'（x）=
所以函數(shù)h（x）=x²+alnx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
此時，函數(shù)h（x）的最小值為
因為
 
所以當-2e≤a＜0時，
當a＜-2e時，
綜上可知，當a>0時，函數(shù)h（x）沒有最小值；
當-2e≤a≤0時，函數(shù)h（x）的最小值為h（0）=0；
當a＜-2e時，函數(shù)h（x）的最小值為
。