Question

圓x²+y²=1內(nèi)有一定點(diǎn)A（

1

2

，0），圓上有兩點(diǎn)P、Q，若∠PAQ=90°，求過點(diǎn)P和Q的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過P、Q的切線方程分別是
x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
又M（m，n）在這兩條切線上，有mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1，
∵P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=1，又兩點(diǎn)確定唯一一條直線，
∴PQ所在直線的方程是mx+ny=1．
又∵E為直線OM與PQ之交點(diǎn)，解方程組

mx+nx=1 y= n m x

?x=

m

m2+n2

，y=

n

m2+n2

．
將（

m

m2+n2

，

n

m2+n2

）代入中點(diǎn)E的軌跡方程得x²+y²+

4

3

x-

8

3

=0．
這就是要求的過P、Q兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)M的軌跡方程．