Question

f（x）是定義在R上的連續(xù)的偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＞0，且f（-2）=0，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-∞，-2）∪（0，2）
• C、（-2，2）
• D、（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x²+1）f（x），然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x²+1）f（x），
∵f（x）是定義在R上的連續(xù)的偶函數(shù)，
∴g（x）=（x²+1）f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)x＜0時(shí)，g'（x）=（x²+1）f′（x）+2xf（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∵f（-2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0，
即g（-2）=g（2）=0．
∴當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，g（x）＞0，
∵x²+1＞0，
∴不等式f（x）＞0的解為-2＜x＜2，
即不等式的解集為（-2，2）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x²+1）f（x）是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．