Question

已知函數(shù)f（x）=n（x-n+2m）（x-n-2m），g（x）=（

1

2

）^x-

1

4

，對?x∈R，有f（x）＞0或g（x）＞0．若m=n²-3n+a，則實數(shù)a的取值范圍是

（-1，

41

16

）

．

Answer 1

分析：由g（x）＞0求出x的取值范圍，利用補集思想得到f（x）＞0恒成立的x的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的零點的范圍得到關(guān)于m和n的不等式組，畫出可行域后結(jié)合函數(shù)m=n²-3n+a分析使a取得最值得可行域內(nèi)的點，利用導(dǎo)數(shù)求出點的坐標后代入m=n²-3n+a即可求得a的最值，則答案可求．

解答：解：若g（x）＞0，即（

1

2

）^x-

1

4

＞0，則x＜2．
∵對?x∈R，有f（x）＞0或g（x）＞0，
∴當(dāng)x≥2時，f（x）＞0恒成立．
又f（x）=n（x-n+2m）（x-n-2m），∴要使f（x）＞0對x≥2恒成立，
則有

n＞0 n-2m＜2 n+2m＜2

．以n為橫軸，m為縱軸畫出可行域如圖，
∵m=n2-3n+a=(n-

3

2

)2+a-

9

4

是以直線n=

3

2

為對稱軸，(

3

2

，a-

9

4

)為頂點，且開口向上的拋物線，
結(jié)合圖形可知，當(dāng)拋物線過點（0，-1）時，a取最小值-1；
當(dāng)拋物線與直線n+2m-2=0相切時，a取最大值．
對函數(shù)m=n²-3n+a求導(dǎo)，得m′=2n-3．
∴2n-3=-

1

2

，解得n=

5

4

．將其代入n+2m-2=0，得m=

3

8

．
即切點坐標為(

5

4

，

3

8

)，此時a=

3

8

-(

5

4

)2+3×

5

4

=

41

16

為a的最大值．
∴實數(shù)a的取值范圍是(-1，

41

16

)．
故答案為(-1，

41

16

)．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線問題，是有一定難度的綜合題目．