Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e₁，準線為l₁、l₂；雙曲線

x2

3a2

-

y2

b2

=1離心率為e₂，準線為l₃、l₄；若l₁、l₂、l₃、l₄正好圍成一個正方形，則

e1

e2

等于（　�。�

• A．

  3

  3

• B．

  6

  3

• C．

  2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：由橢圓和雙曲線的方程可得其準線的方程，再利用準線l₁、l₂、l₃、l₄正好圍成一個正方形，即可得出a，b滿足的條件，再利用離心率計算公式即可得出．

解答：解：由題意可得橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的準線方程為y=±

a2

a2-b2

；
雙曲線

x2

3a2

-

y2

b2

=1準線方程為x=±

3a2

3a2+b2

；
∵四條準線l₁、l₂、l₃、l₄正好圍成一個正方形，∴

a2

a2-b2

=

3a2

3a2+b2

．
解得

b2

a2

=

3

5

．
∴e1=

1- b2 a2

=

10

5

，e2=

1+ b2 3a2

=

30

5

．
∴

e1

e2

=

3

3

．
故選A．

點評：熟練掌握橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．