Question

15．已知$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0），則當mn取得最小值時，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的漸近線方程為y=$±\frac{1}{2}$x．

Answer 1

分析 m＞0，n＞0，可得1=$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{1}{n}}$，可得：mn≥8，當且僅當m=2n=4時取等號．即可得出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的漸近線方程：y=±$\frac{n}{m}$x．

解答 解：∵m＞0，n＞0，∴1=$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{2}{m}•\frac{1}{n}}$，可得：mn≥8，當且僅當m=2n=4時取等號．
∴雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的漸近線方程為：y=±$\frac{n}{m}$x，即y=$±\frac{1}{2}$x．
故答案為：y=$±\frac{1}{2}$x．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．