Question

如果函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區(qū)間（1，4）上為減函數(shù)，在（6，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a≤5
• B、5≤a≤7
• C、a≥7
• D、a≤5或a≥7

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，我們可以求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，令導(dǎo)函數(shù)等于0，則我們可以求出函數(shù)的極值點(diǎn)為1和a-1，由函數(shù)f（x）區(qū)間（1，4）上為減函數(shù)，在（6，+∞）上為增函數(shù)，我們可得函數(shù)的極值點(diǎn)a-1介于4到6之間，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1
∴f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]
又∵函數(shù)f（x）區(qū)間（1，4）上為減函數(shù)，在（6，+∞）上為增函數(shù)，
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知中函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．