Question

已知a∈R，函數f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的零點；
（Ⅱ）求函數y=f （x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=3代入求出函數f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．
（2）對函數f（x）進行求導然后對a的值進行分析：當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數進而可得到最小值；
當a＞0時，根據導函數的正負對函數區(qū)間[1，2]上的單調性進行討論，從而確定最小值．
解答：解：（Ⅰ）由題意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）設此最小值為m．，，
（1）當a≤0時，f′（x）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數，所以m=f（1）=1-a
（2）當a＞0時，
當時，f'（x）＞0，從而f（x）在[，+∞）上是增函數；
當時，f'（x）＜0，從而f（x）在區(qū)間[0，]上是單調減函數
①當，即a≥3時，m=f（2）=8-4a
②當，即時，
③當時，m=f（1）=1-a
綜上所述，所求函數的最小值
點評：本題主要考查函數的零點的求法、函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、函數在閉區(qū)間的最值的求法．導數時高等數學下放到高中的內容，是高考的必考內容，要給予重視．