Question

已知拋物線C的一個焦點為F（

1

2

，0），準線方程為x=-

1

2

．
（1）寫出拋物線C的方程；
（2）（此小題僅理科做）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標原點，求△AOB重心G的軌跡方程；
（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點分別是M，N．當P點在何處時，|MN|的值最��？并求出|MN|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知拋物線方程為：y²=2x．
（2）當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k（x-

1

2

），代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，設△AOB的重心為OG（x，y），由韋達定理得y2=

2

3

x-

2

9

．當直線垂直于x軸時，△AOB的重心G（

1

3

，0）也滿足上述方程，由此能求出△AOB重心G的軌跡方程．
（3）已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=

2

，當|PQ|²最小時，|MN|取最小值，由此能求出當P點坐標為P（2，±2）時，|MN|取最小值

2 30

5

．

解答： 解：（1）∵拋物線C的一個焦點為F（

1

2

，0），準線方程為x=-

1

2

，
∴拋物線方程為：y²=2x．
（2）①當直線不垂直于x軸時，設方程為y=k（x-

1

2

），
代入y²=2x，得k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，k≠0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

k2+2

k2

，y1+y2=k(x1+x2-1)=

2

k

，
設△AOB的重心為OG（x，y），
則

x= 0+x1+x2 3 = k2+2 3k2 y= 0+y1+y2 3 = 2 3k

，
消去y，得y2=

2

3

x-

2

9

．
②當直線垂直于x軸時，A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
△AOB的重心G（

1

3

，0）也滿足上述方程．
綜合①②，得所求的軌跡方程為y2=

2

3

x-

2

9

．
（3）已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=

2

，
根據圓的性質有：|MN|=2•

|MP||MQ|

|PQ|

=2r

|PQ|2-r2 |PQ|2

=2

2

•

1- 2 |PQ|2

，
當|PQ|²最小時，|MN|取最小值．
設P（x₀，y₀），則y02=2x0，
|PQ|²=（x₀-3）²+y02=x02-4x0+9=（x₀-2）²+5，
∴當x₀=2，y₀=±2時，|PQ|²取最小值5，
故當P點坐標為P（2，±2）時，|MN|取最小值

2 30

5

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，考查線段長最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．