Question

已知函數(shù)，x∈R．
（Ⅰ）若a=3，求曲線y=f（x）在點(diǎn)x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的x∈[-1，2]，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=3時，f（x）=x³-x²+2，f（2）=6，f'（x）=3x²-2x，f'（2）=8，
∴切線方程為：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0時，f'（x）=-2x，f（2）=-2＜0，不符合題意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或，
當(dāng)，即a≥1時，

x	-1	（-1，0）	0				2
f'（x）		+	0		0	+
f（x）		增	極大值2	減	極小值	增

由a≥1得，．
∴只需且，解得1≤a＜3
（3），即0＜a＜1時，

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0
f（x）		增	極大值2	減

0＜a＜1時，，只需，解得
（4）a＜0時，，不符合題意．
綜上，．
分析：（Ⅰ）確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：（1）a=0時，不符合題意；（2）a≠0時，f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或，確定函數(shù)的最值，結(jié)合f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．