Question

C₁和C₂是平面上兩個(gè)不重合的固定圓，C是平面上的一個(gè)動(dòng)圓，C與C₁，C₂都相切，則C的圓心的軌跡是何種曲線(xiàn)？說(shuō)明理由。

Answer 1

解：不妨設(shè)C1，C2和C的半徑分別為r1，r2，r（r1>r2） （1）當(dāng)C1和C2相離時(shí)，即|C1C2|>r1+r2， （i）若C與C1，C2都外切， 則|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r， ∴|CC1|-|CC2|=r1-r2 若C與C1，C2都內(nèi)切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2， ∴|CC2|-|CC1|=r1-r2； ∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由雙曲線(xiàn)的定義，C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1-r2的雙曲線(xiàn)； （ii）若C與Cl內(nèi)切，C2外切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r， ∴|CC2|-|CC1|=r1+r2； 若C與C1外切，C2內(nèi)切， 則|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2， ∴|CC1|-|CC2|=r1+r2 ∴||CC2|-|CC1||=r1+r2<|C1C2|，由雙曲線(xiàn)的定義，C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1+r2的雙曲線(xiàn)； （2）當(dāng)C1和C2外切時(shí)，即|C1C2|=r1+r2， （i）若C與C1，C2都外切， 則|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r， ∴|CC1|-|CC2|=r1-r2； 若C與C1，C2都內(nèi)切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2， ∴|CC2|-|CC1|=r1-r2； ∴||CC2|-|CC1||=r1-r2<|C1C2|，由雙曲線(xiàn)的定義，C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r-r2的雙曲線(xiàn)；
（ii）若C與C1內(nèi)切，C2外切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r2+r（或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r）（如圖1，2）， ∴|CC2|-|CC1|=r1+r2（或|CC2|+|CC1|=r1+r2） 若C與C1外切，C2內(nèi)切， 則|CC1|=r+r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r+r1，|CC2|=r2-r）， ∴|CC1|-|CC2|=r1+r2=|C1C2|（或|CC2|+|CC1|=r1+r2= |C1C2|）， ∴C的圓心的軌跡是過(guò)C1，C2的直線(xiàn)（除直線(xiàn)與圓C1、C2的交點(diǎn)外）；
（3）當(dāng)C1和C2相交時(shí)， 即r1-r2<|C1C2| （i）若C與C1，C2都外切， 則|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r， ∴|CC1|-|CC2|=r1-r2 若C與C1，C2都內(nèi)切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r2-r）， ∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2 ∴||CC2|-|CC1|| =r1-r2<|C1C2|， 由雙曲線(xiàn)的定義，C的圓心軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1-r2的雙曲線(xiàn)（圓C1，C2的交點(diǎn)除外）；
（ii）若C與C1內(nèi)切，C2外切（如圖3）， 則|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r， ∴|CC2|+|CC1|=r1+r2 若C與C1外切，C2內(nèi)切， 則|CC1|=r+r1，|CC2|=r2-r， ∴|CC2|+|CC1|=r1+r2 ∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|，由橢圓的定義，C的圓心的軌跡方程是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1+r2的橢圓（圓 C1、C2的交點(diǎn)除外）；
（4）當(dāng)C1和C2內(nèi)切時(shí)， 即|C1C2| =r1-r2， （i）若C與C1，C2都外切， 則|CC1|=r1+r，|CC2|=r2+r， ∴|CC1|-|CC2|=r1-r2； 若C與C1，C2都內(nèi)切， 則|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2（或|CC1| =r1-r，|CC2|=r-r2或|CC1|=r1-r，|CC2|=r2-r）（如圖4， 5，6）， ∴|CC2|-|CC1|=r1-r2（或|CC2|+|CC1|=r1-r2或|CC2|- |CC1|=r2-r1） ∴||CC2|-|CC1||=r1-r2=|C1C2|或|CC2|+|CC1|=r1-r2， ∴C的圓心的軌跡是過(guò)C1，C2的直線(xiàn)（除直線(xiàn)與圓C1 、C2的交點(diǎn)外）；
（ii）若C與C1內(nèi)切，C2外切， 則|CC1|=r1-r，|CC2|=r2+r， ∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|， ∴C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1+r2的橢圓（兩圓C1、C2的交點(diǎn)除外）；
（5）當(dāng)C1和C2內(nèi)含時(shí)， 即|C1C2|＜r1-r2， （i）若C與C1，C2都內(nèi)切（如圖7）， 則|CC1|=r1-r，|CC2|=r-r2， ∴|CC2|+|CC1|=r1-r2>|C1C2|， ∴C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1-r2的橢圓；
（ii）若C與C1內(nèi)切，C2外切， 則|CC1|=r1- r，|CC2|=r2+r， ∴|CC2|+|CC1|=r1+r2>|C1C2|， ∴C的圓心的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為r1+r2的橢圓。