Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a）e^x．
（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若x₁，x₂為f（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且|ex2f(x1)-ex1f(x2)|≥4ex1+x2|

x

2 1

x2-x1

x

2 2

|，若3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意把a(bǔ)=3代入解析式，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0 解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，在令導(dǎo)數(shù)小于0解出的為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)令導(dǎo)函數(shù)為0，再有3f(a)＜a3+

3

2

a2-3a+b恒成立，得到關(guān)于a的函數(shù)式子g（a），判斷該函數(shù)的極值與最值即

解答：解（1）∵a=3，
∴f（x）=（x²-3）e^x，f'（x）=（x²+2x-3）e^x=0
∴x=-3或x=1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）
令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；遞減區(qū)間為（-3，1）
當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)有極大值為6e^-3，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極小值為-2e；
（2）由（x）=（x²+2x-a）e^x=0可得x²+2x-a=0
由題意兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a，
又∵|ex2f(x1)-ex1f(x2)|≥4ex1+x2|

x

2 1

x2-x1

x

2 2

|，
∴|ex2ex1(x12-a)-ex1ex2(x22-a)|≥4ex1+x2|x12x2-x1x22|
∴|x₁+x₂|≥4|x₁x₂|
∴-

1

2

≤a≤

1

2

且△=4+4a＞0，∴-

1

2

≤a≤

1

2

設(shè)g（a）=3f（a）-a3-

3a2

2

+3a=3（a²-a）e^a-a3-

3a2

2

+3a
∴g′（a）=3（a²+a-1）（e^a-1）=0⇒a=

-1± 5

2

或a=0
又∵-

1

2

≤a≤

1

2

函數(shù)在[-

1

2

，0）上單調(diào)遞增，在[0，

1

2

]上單調(diào)遞減
∴g（a）max=g（0）=0
∴b＞0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值及學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．