Question

3．用n（n∈N^*）種不同顏色給如圖的4個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色．
（1）當(dāng)n=6時，圖（1）、圖（2）各有多少種涂色方案？（要求：列式或簡述理由，結(jié)果用數(shù)字作答）；
（2）若圖（3）有180種涂色法，求n的值．

Answer 1

分析 （1）如圖（1）據(jù)題意，分四個步驟來完成，由乘法原理計算可得答案．
圖（2）分兩類，若A，C相同，若A，C不同，根據(jù)分類計數(shù)原理可得．
（2）A有n種方法，B有n-1種方法，C有n-2種方法，D有n-2種方法，共有涂色方法n（n-1）（n-2）（n-2）=180，計算可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=6時，圖（1）A有6種方法，B有5種方法，C有4種方法，D有5種方法，共有涂色方法6×5×4×5=600種
圖（2）若A，C相同，則A有6種方法，B有5種方法，D有4種方法，共有6×5×4=120種
若A，C不同，則A有6種方法，B有5種方法，C有4種方法，D有3種方法，共有6×5×4×3=360種
∴共有涂色方法120+360=480種．
（2）A有n種方法，B有n-1種方法，C有n-2種方法，D有n-2種方法，共有涂色方法n（n-1）（n-2）（n-2）種
 由n（n-1）（n-2）（n-2）=180
解得n=5

點評 本題考查涂色問題，是排列、組合的典型題目，一般涉及分類加法原理與分步乘法原理，注意認(rèn)真分析題意，把握好限制條件．