Question

7．下列說法：
①已知$\overrightarrow{e}$是單位向量，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影為$\frac{1}{2}$；
②關于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，則a的取值范圍是a＜2$\sqrt{2}$；
③函數f（x）=alog₂|x|+x+b為奇函數的充要條件是a+b=0；
④將函數y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=sin2x的圖象
⑤在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB；
其中正確的命題序號是①⑤（填出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 把已知的向量等式兩邊平方，求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影為$\frac{1}{2}$；利用對勾函數的單調性求出sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值判斷②；舉例說明③錯誤；利用函數的圖象平移判斷④；由已知結合正弦定理判斷⑤．

解答 解：①$\overrightarrow{e}$是單位向量，由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，兩邊平方得，
${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+1={\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+4$，整理得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}=\frac{1}{2}$，
則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影為$\frac{1}{2}$，故①正確；
②∵sin²x∈（0，1]，∴sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值為3，
則關于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立時，a的取值范圍是a＜3，故②錯誤；
③當a=1，b=-1時，雖然有a+b=0，但f（x）不是奇函數，故③錯誤；
④將函數y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，故④錯誤；
⑤在△ABC中，由正弦定理知$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R$，
若A＜B，則有a＜b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＜sinB成立，故⑤正確．
故答案為：①⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了向量在向量方向上的投影，訓練了利用函數單調性求函數的最值，考查了三角函數的圖象平移，是中檔題．