Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn). 為橢圓的右焦點(diǎn)， 為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，連接分別交橢圓于兩點(diǎn).

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若，求的值；

⑶設(shè)直線(xiàn)， 的斜率分別為， ，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】試題分析：（1）；（2）由橢圓對(duì)稱(chēng)性，知，所以，此時(shí)直線(xiàn)方程為，故． （3）設(shè)，則，通過(guò)直線(xiàn)和橢圓方程，解得， ，所以，即存在。

試題解析：

（1）設(shè)橢圓方程為，由題意知：

解之得： ，所以橢圓方程為：

（2）若，由橢圓對(duì)稱(chēng)性，知，所以，

此時(shí)直線(xiàn)方程為，

由，得，解得（舍去），

故．

（3）設(shè)，則，

直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程，得

　　　　　，

因?yàn)?/span>是該方程的一個(gè)解，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

又在直線(xiàn)上，所以，

同理， 點(diǎn)坐標(biāo)為， ，

所以，

即存在，使得．