Question

1．已知C的圓心（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，圓C與拋物線(xiàn)D：y²=2px（p＞0）的交點(diǎn)A、B在x軸的上方，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在直線(xiàn)y=x上，求：
（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求p的值．

Answer 1

分析 （1）由C的圓心（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=3；
（2）先把兩個(gè)方程聯(lián)立求出關(guān)于點(diǎn)A、B和p的方程，再求出中點(diǎn)坐標(biāo)以及y₁+y₂來(lái)求p值即可．

解答 解：（1）∵C的圓心（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=3；
（2）由題得p＞0．
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），圓的圓心為點(diǎn)C，聯(lián)立可得x²-（4-2p）x+1=0，
△=（4-2p）²-4＞0⇒p＞3或0＜p＜1，
有x₁+x₂=4-2p＞0⇒0＜p＜1，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2-p，2-p）．
又∵y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²，∴y₁y₂=2p，
∴（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂=2p（4-2p）+4p=（4-2p）²，
∴p=$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)拋物線(xiàn)與圓的綜合考查，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．