Question

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整數(shù)，求證：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

Answer 1

證明：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）n=2時(shí)，|sin（α₁+α₂）|-|sinα₁cosα₂+cosα₁sinα₂|≤sinα₁|cosα₂|+|cosα₁|•|sinα₂|＜sinα₁+sinα₂，
所以n=2時(shí)成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)成立，即
|sin（α₁+α₂+Λ+α_k）|＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k
當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin（α₁+α₂+Λ+α_k+1）|=
=|sinα_k+1cos（α₁+Λα_k）+cosα_k+1sin（α₁+Λα_k）|
≤sinα_k+1|cos（α₁+Λ+α_k）|+|cosα_k+1|•|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα_k+1+|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k+1
∴n=k+1時(shí)也成立．
由（1）（2）得，原式成立．